Cálculo diferencial,
¿por qué y para qué?

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Introducción

El cálculo diferencial es una rama de la matemática que permite resolver diversos problemas donde el cambio de las variables se puede modelar en un continuo numérico para determinar, a partir de ello, la variación de estos elementos en un instante o intervalo específico.

Al aplicarlo, es posible determinar el momento en que se da una tendencia al alza o a la baja del mercado a partir de los datos del índice bursátil, determinar la velocidad máxima que un vehículo puede alcanzar en una carretera, el comportamiento que puede mostrar a largo plazo la concentración de una mezcla o predecir el número de horas-hombre necesarias para un nivel de producción industrial; los anteriores son ejemplos de la amplia variedad de problemas que pueden resolverse gracias a esta disciplina.

Sin embargo, para el surgimiento del cálculo diferencial, la humanidad tuvo que recorrer un camino largo y tortuoso para dilucidar claramente las ideas que llevaron a la generación de los conceptos que permitieron su nacimiento. A continuación, se realiza un breve recorrido por sus orígenes.

El estudio de este tema te permitirá:

Distinguir los elementos del cálculo diferencial, a través de la revisión de sus orígenes, para diferenciarlo de otras ramas de la matemática y discernir el tipo de problemáticas donde se aplica esta disciplina.

Matemática


La matemática se relaciona en todo momento con cualquier sociedad humana; la aritmética y la geometría surgen en ellas casi de manera inmediata ante la necesidad de contar y medir en las operaciones comerciales, productivas y legales que se dan al interior de estos grupos humanos.



La necesidad de contar y medir se da desde las sociedades más antiguas

Aritmética


En el proceso de evolución de esta ciencia es posible decir que se da primero la aritmética, la cual es una rama de las matemáticas que permite contar los objetos y establecer un orden numérico a través de la abstracción de la naturaleza que surge a partir de los números; asimismo, en la aritmética se definen las operaciones elementales que se pueden realizar con los números: suma, resta, multiplicación y división.


A través de los números, la aritmética permite contar, establece un orden numérico y define las cuatro operaciones básicas que se pueden realizar con ellos

La aritmética evolucionó en diversas etapas al pasar por los sistemas numéricos con y sin posición relativa, de base decimal, vigesimal y sexagesimal, la aparición del cero y la mecanización de ciertas operaciones que permitieron hacer algunos cálculos complejos como los de área y volumen.

Geometría


De manera asociada, y en un estadio superior de desarrollo humano, surge la geometría como concepción matemática de la naturaleza relacionada con el estímulo visual del entorno del hombre. Mediante esta rama de las matemáticas, es posible hacer una aproximación del mundo real a partir de la abstracción de la naturaleza por medio de entes geométricos (puntos, líneas, triángulos, cuadrados, etcétera); asimismo, a través de ella se determinan diversas propiedades y relaciones de estos entes geométricos.



La geometría surge como una concepción matemática de la naturaleza, originada del estímulo visual del entorno humano. Esta rama de las matemáticas permite hacer una aproximación del mundo real

Álgebra


Desde un punto de vista práctico, la aritmética y la geometría son suficientes para resolver la mayoría de los problemas que dieron origen a la matemática; sin embargo la aritmética en sí misma no puede desarrollar modelos generales de un problema determinado y sólo es posible plantear y resolver con ella casos particulares de estos problemas.

Por ello, surge el álgebra como una rama de las matemáticas que permite modelar y determinar el comportamiento general de las estructuras matemáticas que se pueden plantear por medios aritméticos; a partir del desarrollo del lenguaje algebraico, surgen nuevas operaciones matemáticas: exponenciación, radicación y logaritmos.

Se puede ilustrar esta evolución de manera sencilla en el caso de la exponenciación. Para el cálculo de áreas y volúmenes, se requiere en algunos casos realizar operaciones aritméticas donde un número se multiplica varias veces por sí mismo, por ejemplo, extraer el cuadrado o el cubo de algún número para obtener el resultado. En la aritmética y geometría antiguas, estos conocimientos eran muy apreciados, ya que se utilizaban en el comercio y también se aplicaban para realizar de manera rápida multiplicaciones de números enteros a partir de los cuadrados de otros números, como se muestra a continuación.

Previous Next

Gracias al desarrollo del álgebra (y de esto se observa su generalidad), es posible saber que el algoritmo conocido antiguamente para la multiplicación no era una propiedad exótica de los números, y tiene su soporte en la igualdad:


ab = (a + b)2 / 4 – (a – b)2 / 4
ab = 1 / 4[(a + b)(a + b) - (a - b)(a - b)]
ab = 1 / 4[(a2 + 2ab + b2) - (a2 - 2ab + b2)]
ab = 1 / 4[a2 – a2 + b2 - b2 + 2ab + 2ab]
ab = 1 / 4(4ab) = ab


El conocimiento de los exponentes negativos, fraccionarios, logaritmos y muchas otras propiedades y algoritmos se obtuvo gracias al desarrollo del álgebra. Para la geometría también se tenían problemáticas parecidas, y el caso del teorema de Pitágoras puede ser una forma de visualizarlas.


Teorema de Pitágoras



Realización aritmética y algebra asociada del teorema de Pitágoras


El álgebra surge a partir de la necesidad de generalizar las operaciones aritméticas;
arriba se ilustra el teorema de Pitágoras, su realización aritmética y su álgebra asociada

Geometría analítica


En al caso de la geometría, se tiene un problema análogo al de la aritmética: carece de generalidad y recursos para describir ciertas estructuras geométricas que se observan en la naturaleza con el avance de las sociedades. De esta forma, al unir el álgebra y la geometría, surge la geometría analítica.



La geometría analítica surge a partir de la generalización algebraica de la geometría y la necesidad de describir y operar con figuras complejas en los procesos artesanales, industriales y productivos

Cálculo diferencial


Con la aritmética, geometría, álgebra y geometría analítica, las sociedades más avanzadas han logrado resolver la mayoría de sus enigmas matemáticos; sin embargo, existen algunos problemas prácticos que no pueden resolverse completamente con estos recursos. La falta de consistencia y generalidad en las soluciones encontradas hasta entonces para esos problemas obliga a una revisión del cimiento matemático.

Un ejemplo del tipo de problemas mencionados se muestra a continuación.

Previous Next

Si bien la intuición indica que debería ser posible aplicar este tipo de razonamientos en los problemas, la matemática dice algo que no concuerda con esta percepción, o bien se puede pensar que matemáticamente no hay forma de expresar la idea propuesta. Aquí se empieza a observar las inconsistencias de la herramienta matemática, particularmente si todo se limita a los recursos que brindan la aritmética, la geometría y el álgebra.

A lo largo del tema, se han mencionado elementos sobre la intuición humana; sin embargo, se debe remarcar que el sentido común no es el principal sustento de la matemática, la cual es un lenguaje preciso que utiliza símbolos y reglas fijas bien definidas que permiten determinar y establecer de manera deductiva relaciones más complejas entre sus entes abstractos (aritméticos y geométricos) sin romper o torcer esas reglas. Ante este tipo de escenarios, se presentarán los elementos que originarán el surgimiento de una nueva rama de la matemática, denominada cálculo diferencial.






Los antiguos problemas matemáticos (500-300 a. C.) sobre el cálculo de áreas, planteados por Arquímedes de Siracusa, y las paradojas de Zenón y Eudoxo se asocian al surgimiento del cálculo diferencial






Aproximación aritmética y geométrica a la solución de diversos problemas prácticos, relacionados con procesos industriales y productivos. A la izquierda se ilustra el techo de una construcción y, a la derecha, una madeja de hilo

Entorno de cálculo


Como se ha mencionado, el cálculo diferencial surge a partir de problemas que no han podido ser modelados matemáticamente y, por esta razón, no se sabe cómo resolverlos correctamente. Generalmente implican el manejo de operaciones algebraicas donde se involucran cantidades que aumentan o disminuyen indefinidamente o una infinidad de sumandos o sustraendos; incluso las relacionadas con fracciones donde sus denominadores se hacen sucesivamente más grandes, más pequeños o nulos pueden ser el epicentro del problema.

Es importante remarcar en este momento que existe una conexión real para estas incógnitas matemáticas y se asocia de manera práctica al planteamiento de problemas que involucran eventos que suceden en tiempos extremadamente cortos o a muy largo plazo, pero también se puede dar respecto a situaciones donde las posiciones entre objetos se aproximan continuamente o se encuentran indistinguiblemente cercanas.

Las condiciones reseñadas representan el núcleo de estos problemas matemáticos, varios de origen antiguo y otros más recientes, e inducen de manera natural (después de muchos años de investigación asociada) al estudio de nuevas ideas relacionadas con el hecho de que la cardinalidad numérica asociada a las variables de un problema algebraico puede crecer o decrecer indefinidamente, algo no resuelto en la matemática previa.

Estos nuevos planteamientos señalan la concepción del cálculo diferencial, cuyo nacimiento se establece en el concepto de límite, el cual aborda estos enigmas. También muestran que, por la necesidad de generalidad algebraica, esto implica también el desarrollo del concepto de función y establecer dentro del contexto, en ambos casos, sus connotaciones aritméticas, algebraicas y geométricas.



El cálculo diferencial surge asociado a problemas aritméticos, geométricos y algebraicos que implican el crecimiento o decrecimiento indefinido de las variables de un problema algebraico

Por la descripción anterior, es posible observar la conveniencia de estudiar el cálculo diferencial a partir de las ideas de función y límite; en este trayecto, podrás ver que de ellas se desprenden otros conceptos importantes como derivación e integración de funciones, los cuales se han convertido en potentes y eficientes herramientas matemáticas para resolver una amplia gama de problemas prácticos de diversas áreas de las ciencias exactas, administrativas y sociales.

Actividad de aprendizaje. Eudoxo y el método exhaustivo

En el siglo II a. C., el matemático griego Eudoxo propuso un método para calcular el área de un círculo a partir del cálculo del área de un polígono, ya que es más sencillo de realizar. El método propuesto se denomina método exhaustivo, y consiste en aumentar progresivamente el número de lados del polígono hasta lograr que las áreas de ambas figuras sean iguales; para esta actividad, deberás resolver los resultados del razonamiento aplicado y considerar las siguientes figuras:


Eudoxo y el método exhaustivo

(s. a.) (2008). Dow Drop`s 500 Points [captura de pantalla].
Tomada de https://www.flickr.com/photos/yotut/2860178069


A partir de la imagen, lee las siguientes aseveraciones y responde si son verdaderas o falsas al seleccionar la opción correspondiente. Al finalizar, podrás conocer tu desempeño.

Autoevaluación. Revisión de conceptos de cálculo diferencial

Hasta aquí, has revisado el largo recorrido hecho por la humanidad que ha llevado al surgimiento del cálculo diferencial.

En esta actividad, identificarás los principales conceptos referentes al cálculo diferencial y sus orígenes.

Lee las siguientes preguntas y selecciona la idea correspondiente para cada una. Al finalizar, podrás conocer tu desempeño.

Fuentes de información

Básicas

Bibliografía


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