La geometría de la proyección de sombras a través de la expresión gráfica desde el dibujo técnico, tiene gran utilidad, sobre todo en los campos de la arquitectura, ingeniería, geografía e, incluso, el diseño, aplicado a distintos espacios como escenografías o estands.
Por lo tanto, los diversos procedimientos que se exponen en la presente Unidad de Apoyo para el Aprendizaje (UAPA) resultan útiles en cualquier ámbito donde se emplean objetos compuestos, planos, prismas y superficies a desnivel o con hundimiento.
Geometría de la proyección de sombras
Identificar el procedimiento geométrico y de dibujo para proyectar la sombra de diferentes objetos conformados por prismas, planos, inclinaciones e irregularidades.
A continuación se muestra el procedimiento para obtener una sombra, que esté
determinada por un punto A en el espacio y su proyección a
horizontal, considerando la luz natural. En cada paso observarás dos esquemas:
el primero corresponde al segmento vertical a contraluz; el segundo, cuando la
luz se
encuentra detrás del espectador.
Se localiza en el espacio el punto A, y a nivel horizontal la proyección a. Posteriormente, se hace pasar el rayo de luz S por el punto A, y se prolonga.
Después, la proyección s que se ubica a nivel horizontal se pasa por la proyección a, hasta que se intersecta en el espacio con el rayo de luz S. Así, la dimensión de la sombra en la línea Aa está limitada por la proyección s, hasta la intersección con el rayo de luz S.
El procedimiento que acabas de revisar es de mucha utilidad en la aplicación de sombras para los dibujos con perspectiva cónica, ya que si las perspectivas se juntan a uno o dos puntos de fuga, los contrastes de tono y de matiz incrementarán el realismo al mirar un objeto. Sin embargo, las cosas cambian cuando se trate de luz artificial.
Como lograste apreciar, cuando la luz es natural, todos los rayos en el espacio son paralelos al rayo de luz S, y las proyecciones en el plano horizontal son paralelas a la proyección s. Sin embargo, cuando se trata de luz artificial, todos los rayos parten de un punto propio F, que también termina interceptándose con su proyección, casi siempre horizontal, por ser la que coincide con el piso. Para que comprendas mejor este principio, a continuación se muestran dos ejemplos: el primero corresponde a un prisma con luz artificial; el segundo, a una pirámide con luz natural.
Ejemplo 1. Dibujar la sombra de un prisma cuadrangular con luz artificial
Ejemplo 2. Dibujar la sombra de una pirámide cuadrangular con luz natural
Otros aspectos que deben considerarse para ubicar la posición de la sombra son los siguientes: a) las dos proyectantes forman un plano que corta la imagen, es decir, se trata de una intersección que permite determinar los límites de la sombra; b) si algún límite de la sombra llega a complicarse, se debe recordar que todo el proceso es reversible, por lo tanto, se puede regresar a la montea de proyecciones ortogonales y resolver en ella el problema; c) las sombras de las verticales seguirán la lógica del objeto a dibujar, sin embargo, es importante organizar todos elementos de la representación para no confundirse.
El objeto compuesto es aquel que se conforma por varias formas simples, combinando así los elementos geométricos de cada una, por lo cual su complejidad no se limita a patrones preestablecidos para su creación (Terán, 2010, p. 132). Un ejemplo de este tipo de objetos es el cuerpo humano, por lo cual se muestra a continuación cómo determinar la sombra de una persona a contraluz, aplicando luz artificial.
Se dibuja a la persona y se localiza la posición del foco F y su proyección horizontal f, los cuales coinciden con el punto de fuga de la sombra. A su vez, se localiza P1 en la parte de la cabeza, donde la luz pasa tangencialmente, y P2 en la tangente al hombro. También se colocan los puntos que se consideren necesarios para delimitar el campo geométrico y que permitan trazar el borde de la sombra. Luego se localizan las proyecciones horizontales p1 y p2. Para facilitar el proceso de localización, se puede trazar alrededor de la figura un prisma rectangular.
Desde F, se traza la proyectante que pase por P1 y otra que pase por p1 en el plano horizontal, de tal forma que las dos líneas se intersecten; ese punto forma parte del contorno de la sombra. Posteriormente, desde F, se traza la proyectante que pase por P2 y otra que pase por p2, de tal forma que las dos líneas se intersecten; ese punto también forma parte del contorno de la sombra. Se realiza el mismo proceso, hasta completar todos los puntos. Luego se ambienta la imagen y se oscurece la sombra.
El cuerpo humano es un objeto compuesto muy importante en perspectiva, ya que permite que un observador entienda la dimensión que pueden tener otros objetos en el espacio, por ejemplo, un meteorito, una habitación, un celular, etc. Por otra parte, recuerda que el procedimiento anterior se puede aplicar a múltiples objetos, así que ponlo en práctica.
Es un término utilizado en los campos de la arquitectura, la geografía y la ingeniería, para describir la pendiente de un terreno, la cual se define como el ángulo de inclinación con respecto a una línea horizontal de referencia (Mendieta y Valencia, 2005, p. 80). A continuación, se muestra un ejemplo de cómo determinar la sombra de un plano con declive sobre el suelo, y cómo se vería al proyectarse sobre otro cuerpo.
Se dibuja un prisma cuadrangular a dos puntos de fuga, identificando la línea de horizonte y la posición de los mismos.
Dentro del prisma, se dibuja una forma que describa dos planos en declive, así como el foco y su proyección horizontal.
Se eliminan los trazos auxiliares para no saturar de líneas el dibujo, y se denominan las aristas más altas y su proyección horizontal.
Una manera de encontrar la solución cuando se dificulta el plano en declive es recurrir a la montea para ubicar la sombra. Otra forma es ubicar puntos sobre las aristas inclinadas del plano, a modo de líneas verticales junto con sus proyecciones horizontales, para ir dimensionando una por una hasta encontrar la lógica de proyección. Aunado a ello, recuerda que a nivel geométrico es común encontrar superficies diversas que constituyen un plano en declive.
Los planos escalonados se configuran cuando los detalles a representar no forman un solo plano, por lo cual es necesario adoptar varios planos perpendiculares entre sí, para generar un corte por planos paralelos (Castilla, 2014). A continuación, se muestra el procedimiento para determinar la sombra de un plano escalonado sobre el suelo, a contraluz con luz natural.
Se dibuja un plano escalonado a dos puntos de fuga y se trazan las aristas que permitan proporcionar las escaleras, de acuerdo con la deformación angular y de profundidad. Luego, se eliminan todos los trazos auxiliares para no saturar el dibujo.
Se denominan los vértices de la cara CA y se ubica las
proyecciones horizontales respectivas. Posteriormente, se trazan en el
espacio las proyectantes paralelas entre sí y las proyecciones
horizontales de las proyectantes que pasen por los puntos análogos, de
tal forma que se crucen para encontrar la sombra proyectada por las
verticales. Luego, se delimita y oscurece la sombra de las escaleras.
Aunque las escaleras son parte importante en obras arquitectónicas y civiles, también pueden aparecer en escenografías, museografías, ambientes de marcas, locaciones, etc. De ese modo, sin importar donde se ocupen los planos escalonados, se podrá encontrar la sombra de las verticales para después relacionarlas en la composición de todo el cuerpo geométrico.
Para obtener la sombra de un plano sobre un volumen, se debe hallar la intersección de sus puntos con el cuerpo geométrico correspondiente (Rodríguez, 2012, pp. 309-342). Sin embargo, el volumen sobre el cual se proyecta la sombra, puede descomponerse, a su vez, en planos que también producen sombras. A continuación, se muestra un ejemplo del tema aplicando luz natural.
Se dibuja un plano en posición vertical y un volumen cuadrangular. Luego, se denominan los vértices superiores y sus proyecciones horizontales.
Se ubican las sombras a partir de las verticales y, siguiendo la lógica de las formas, se trazará su contorno; será posible notar cómo al topar las sombras con un plano vertical ascienden en la misma dirección, y al quebrar en la tapa que es horizontal, vuelven a tomar la dirección de la proyectante s. Después, se oscurecen las sombras y se ambienta.
El concepto de plano sobre volumen se puede ejemplificar al imaginar un anuncio espectacular (plano), el cual proyecta su sombra sobre una casa o edificio (volumen). Además, como se mencionó anteriormente, un objeto con volumen se conforma por planos propios. De hecho, en el ejemplo presentado, la tapa de bloque es un plano en posición horizontal, desde el cual se determina la sombra.
Para hallar la sombra que produce un prisma sobre volumen, primero se debe calcular la sombra propia del prisma, es decir, los planos del cuerpo geométrico que la produce. En segundo lugar, se debe estudiar la sombra arrojada del prisma sobre los planos de proyección en el volumen (Cagigas y Pérez, 2015, p. 262). A continuación, se muestra el procedimiento para obtener la sombra que proyecta un prisma recto sobre un volumen.
Se dibuja un prisma recto cuadrangular y un volumen a su lado, así como el foco y su proyección horizontal. Luego, se denominan los vértices superiores y sus respectivas proyecciones horizontales. También se dibuja la intersección de las proyectantes análogas del prisma mayor.
Se delimita la sombra de la vertical B-b sobre el volumen y también sobre el piso. Luego, del punto b se prolonga hasta la base d-e; en dicha intersección se levanta de manera análoga una línea vertical hasta la tapa, así como en el punto de intersección con la base que levanta la vertical. De esa manera, las dos líneas que suben hasta la tapa muestran lo que cubre la sombra. Es como si el plano descrito por la proyectante y su proyección, cortara la esquina E-e del prisma. Después, continúa delimitando el contorno del prisma mayor; notarás que casi cubre al volumen con excepción de la esquina E-e.
De la esquina E-e se contornea la sombra a la que le da la luz; es posible notar cómo se tiene que hacer el recorrido de todo el contorno. Posteriormente, se oscurece la sombra.
En el entorno urbano, hay muchos casos de formas prismáticas que reflejan su sombra sobre otros objetos, por ejemplo, las columnas rectas que proyectan su sombra en la pared. Recuerda que el secreto está en seguir la sombra de cada línea vertical por la superficie del volumen. Si sigues con problemas para la determinación de los límites de la sombra, piensa que se forma un plano que corta el volumen como si fuera una barra de mantequilla.
A cualquier cuerpo geométrico se le puede agregar otro elemento, incluso se pueden unir dos o más volúmenes (Montiel, 2017). A continuación, se muestra el procedimiento para encontrar la sombra en el caso de un prisma rectangular adicionado a otro prisma en su parte frontal, considerando que ésta se produce con luz solar desde atrás del observador.
Se dibuja un prisma rectangular adicionado en el frente de otro, con posición vertical en perspectiva. Después, se traza la proyectante S y su proyección horizontal s, donde esta última se intersecta con la base del volumen principal.
Se levanta una vertical hasta donde intersecta a la proyectante. Posteriormente, se repetirá el proceso en los vértices B y C. Se debe observar cómo la sombra proyectada por el vértice C termina dentro de la adición.
Se delimita la sombra de la adición y se traza el volumen principal. Luego, se oscurece la sombra.
Un ejemplo de este caso especial de sombra sería una casa (volumen) con rejas en las ventanas (adición). Para este tipo de sombras, no se dibuja la parte debajo de la sombra, sino la que está por arriba, ya que se sigue la lógica de construcción. Piensa que la sombra es como el techo o la marquesina de una construcción, de esa forma te será más fácil concebirla en el dibujo.
En el caso de la luz natural del sol, ésta cambia continuamente de posición a lo largo del día y a lo largo del año, como consecuencia de su desplazamiento, la interposición de nubes y la llegada de las estaciones (Calduch, 2000, p. 16). Por ello, en el siguiente ejemplo, se mostrará que el ángulo formado entre la proyectante S y su proyección s, primero será recto y luego mayor a 90º; podrás observar el cambio de posición de la sombra con relación a la luz.
Se comienza con un prisma con el mismo volumen y la misma adición que en el tema anterior, donde la proyectante S pasará por A y a; lo mismo pasa con las demás proyectantes. Después, se contornea y oscurece la sombra.
Nuevamente se comienza con el volumen con adición y se denominan los vértices A, B, C, y D. Luego, se encuentran sus proyecciones horizontales a, b, c y d. Posteriormente, se traza la proyección horizontal s, con la inclinación de la primera sombra y que pase por a, y paralelas a ésta, otras tantas que pasen por b, c y d.
Se traza la proyectante S que pase por el vértice encima de C, y con proyectantes paralelas a S, se hace lo mismo con el resto de los vértices. También se trazarán los límites de la adición. Posteriormente, se oscurece la sombra.
En suma, debido a los cambios de trayectoria de la fuente luminosa, pareciera que en diferentes momentos la sombra del objeto se recorre de manera giratoria, percibiéndose deformada. Por otra parte, aunque el fenómeno luminoso y los cambios de posición de las sombras por el paso del tiempo son cuestiones muy conocidas por los seres humanos, resulta un modo sencillo de comprender cómo se relaciona la geometría solar con los cálculos horarios, aunque claramente en la actualidad tenemos sistemas más exactos.
Un volumen puede poseer una estructura que inhibe o facilita la entrada de la luz al interior de la misma, por ejemplo, en el caso de la arquitectura, se coloca de forma estratégica ventanas, ranuras o huecos en los edificios, para que pueda pasar la luz a los espacios (Charleson, 2007, p. 194). A continuación, se muestra un ejemplo para determinar hasta dónde entra la luz de una lámpara y cómo se ve en los planos que delimitan el interior de un prisma hueco.
Se dibuja el prisma y el foco con su proyección, y también se denominan los vértices y su proyección. Después, se proyecta la sombra de la vertical Aa.
Se delimita la sombra interior y exterior, y luego se oscurecen.
Seguramente en varias ocasiones lograste percatarte de la luz que entra por la ventana de tu cuarto, de tu escuela o de tu lugar de trabajo; cuando la luz llega a una habitación, se percibe una sensación calidez y agrado, por ello se le da tanta importancia en el diseño de interiores o en la creación de escenografías. Por otra parte, más adelante, en el tema de muro con vano, apreciarás detalladamente la aplicación de este concepto.
Entre los objetos que manejamos todos los días, existen muchos con forma cilíndrica, por ejemplo, tubos, alambres, pilares, empaques, envases, piezas de máquinas, etc. (Palmer, Bibb, Jarvis y Mrachek, 2013, p. 385). Por ello, se hace relevante que ejercites la aplicación de sombras en cuerpos con estas características. En el siguiente ejemplo, se determinará la sombra de un cilindro a contraluz con luz solar.
Se dibuja el cilindro en perspectiva, la proyectante S y su proyección horizontal s. Luego, se denominan varios puntos en la tapa: A, B, C, D y E. También se localiza su proyección horizontal a, b, c, d y e.
Se localiza cada una de las verticales y se delimita la sombra del cilindro, que es una curva que pasa en los extremos de éstas. Luego, se oscurece la sombra.
Puedes proyectar la sombra de cualquier superficie curva, sólo tienes que descomponerla en puntos y convertirla en líneas verticales para encontrar la sombra de cada una. Después, determinas por qué puntos pasa el contorno, según la lógica del cuerpo geométrico.
Aunque la concepción de prisma sobre prisma triangular podría relacionarse con el plano con declive, para este caso puede ocurrir que la sombra se deforme sobre los planos, con diferentes inclinaciones y direcciones. A continuación, se muestra un ejemplo de un prisma cuadrangular que proyecta su sombra en un prisma triangular acostado, aplicando luz artificial.
Se dibujan en perspectiva los prismas, el foco y su proyección. También se denominan los vértices del prisma cuadrangular y sus proyecciones, y se delimitan las sombras de las verticales. Posteriormente, se traza una paralela a las aristas menores que limitan la cara rectangular, donde la sombra se intersecta con la base del prisma triangular, ya que dicha cara está en posición vertical de forma paralela a la continuación del plano.
Se traza la sombra del prisma triangular. Luego, se ambienta oscureciendo la sombra.
Un ejemplo de la vida cotidiana de prisma sobre prisma triangular son los techos de dos aguas en casas que no están alineadas. Por otra parte, recuerda que en el prisma triangular, al igual que en la pirámide que se ejemplificó en los primeros temas, el punto en el espacio tiene su proyección horizontal en la intersección del eje con la base.
Un muro es una construcción o estructura que presenta una superficie sólida vertical, utilizada para proteger o cerrar un espacio, definiendo un ámbito. Por otra parte, un muro puede tener un vano o hueco abierto con la intención de iluminar un lugar (Iturriaga, 2008); comúnmente, un muro con vano resulta un detalle interesante en las construcciones con estilo clásico o rústico. En el siguiente ejercicio se busca la sombra que proyecta el vano de un muro que se encuentra de frente por un arbotante sobre la banqueta.
Se dibujan el vano en perspectiva (para este caso, una puerta) y el foco.
Se denominan los vértices frontales del vano y sus proyecciones. También se trazan las proyectantes de las verticales Aa y Bb para limitar la sombra en el vano de la primera puerta. La sombra en el marco baja desde A hasta el borde Cc interior del marco. Así, para determinar la sombra de la altura en éste, se realiza lo siguiente: 1) traza la proyectante que pase por c; 2) encuentra la proyección horizontal d entre la proyectante del punto anterior y una línea que una a y b; 3) localiza el punto D en el marco de la puerta; 4) traza la proyectante por D; 5) hasta el punto donde se intersecta la proyectante FD con Cc, llegará la sombra desde A.
Se limitan y oscurecen las sombras.
En este caso, el secreto está en localizar puntos intermedios como en D, que se encuentra en la fachada que produce la sombra en el plano interior del vano. Fíjate cómo debe encontrarse una proyectante que coincida con la línea Cc y en la intersección de dicha proyectante con la proyección de la línea ab, se localiza la proyección d para luego ubicar D en el espacio. En este caso, el método se aplicó de manera reversible, que es la principal característica de todos los métodos matemáticos.
Se define como hundimiento el volumen rodeado por el escarpe principal (pendiente o inclinación), la masa hundida o disminuida y la superficie original del terreno (Alcántara, 2000, p. 15). A continuación, se expone la aplicación del método de sombras, donde el prisma está en el fondo de un campo hundido.
Se dibuja un prisma en perspectiva al centro de planos con declive.
Se proyecta, delimita y oscurece la sombra del prisma.
Un ejemplo de prisma sobre terreno hundido son las edificaciones que se ubican entre colinas o algunas columnas y puentes sobre un arroyo, lo cual representa riesgos de inundación o deslave. Por otra parte, siempre se debe considerar dónde se encuentra la parte más baja del terreno y desde ese nivel aplicar los cálculos.
Como vimos, dependiendo del tipo de sombra aumenta aún más la complejidad del proceso de trazado. Por lo tanto, es importante que ejercites tus habilidades, con la finalidad de proyectar cualquier sombra por muy sencilla o difícil que parezca.
Ten a la mano lápiz, escuadras y hojas de papel, ya que dibujarás la perspectiva isométrica de un prisma de base cuadrada. Las medidas de éste serán las que elijas. Posteriormente, proyecta la sombra.
Finalmente, recuerda que puedes compartir tu trabajo con tus familiares, amigos e, incluso, en tus redes sociales.
Como se ha visto a través de los temas, al momento de proyectar la sombra de un objeto, juegan un papel importante los rayos luminosos, la forma y espacios huecos de la estructura tridimensional y el procedimiento de dibujo técnico que se lleva a cabo.
Resuelve el siguiente ejercicio para recordar y reforzar los conceptos básicos de la proyección de sombras.
Fuentes de información
Bibliografía
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Calduch, J. (2000). Temas de composición arquitectónica: luz, sombra, color y Contorno. San Vicente (Alicante): Club Universitario.
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Palmer, C. I., Bibb, S. F., Jarvis, J. A. y Mrachek, L. A. (2003). Matemáticas prácticas: aritmética, álgebra, geometría, trigonometría y regla de cálculo. Barcelona: Reverté.
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Cómo citar
Jacinto, E. y Fones, A. (2023). Las sombras. Unidades de Apoyo para el Aprendizaje. CUAED/FES Cuautitlán-UNAM. Consultado el (fecha) de (vínculo)
