Eigenvalores y Eigenvectores

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Introducción


En la actualidad, los requerimientos analíticos de las empresas avanzan rápidamente; por este motivo, se requieren modelos y algoritmos más complejos para la solución de los problemas.

Para determinar y resolver las interacciones que generen mejores procesos productivos y rindan mayores utilidades para las organizaciones es menester construir complejos modelos en los que se interrelacionan sistemas de ecuaciones y transformaciones lineales; es indispensable, entonces, conocer una variedad de herramientas que nos permitan plantear, analizar y resolver estas estructuras de manera rápida, con un cierto nivel de versatilidad y que, además, se adapten a las condiciones cambiantes de los negocios. Es en estos entornos donde los conceptos de determinante, valores y vectores característicos encuentran un importante nicho de aplicación; por tanto, es de suma importancia conocer y dominar las técnicas matemáticas avanzadas que nos ofrece el álgebra lineal en diversos campos del conocimiento, de los cuales destaca el de la informática.






El estudio de este tema te permitirá:

Calcular los eigenvalores y eigenvectores, a través de los determinantes de una matriz, para encontrar los valores escalares que satisfagan una ecuación lineal.

Eingevalores


En algunas transformaciones lineales del tipo T (V) → V, se requiere encontrar los valores escalares, para los cuales la ecuación T(x) = λ(x) tiene soluciones diferentes de cero:

Cuadro


De la ecuación anterior, podemos definir a λ como el valor característico (o valores, ya que puede haber más de uno), también conocidos como eigenvalores, de la trasformación A; así mismo, los vectores x(diferentes al vector cero), asociados a estos valores λ, y que satisfacen la ecuación (a), se denominan vectores característicos o eigenvectores.

Podemos observar que los eingevalores son números que se restan a la diagonal de una matriz, y al satisfacer la ecuación (a) implica que:


det (λI - A) = 0

Paso 1

Si tenemos una matriz A:

Paso 2

Entonces, su determinante será:

Paso 3

Para obtener los eingevalores λ hacemos lo siguiente:



Observa un ejemplo: Calcular los eingevalores de la siguiente matriz A.





Y el determinante nos da:



De aquí obtenemos dos eingevalores: λ=0 y λ=2

a

Eingevectores

Como habíamos mencionado, un eingevector es un vector asociado a una matriz A, el cual se obtiene a partir de los eingevalores. Es decir que, para su cálculo, primero hay que obtener los eingevalores de la matriz.

Estos vectores tienen la propiedad de que dada la ecuación matricial:





Existen vectores no triviales (diferentes del vector cero) xi, con los que se cumple que:





Para la obtención de los eingevectores se tienen que encontrar los valores:





De tal manera que se cumpla la siguiente expresión:

Donde a1, a2, ..., an son valores constantes.

Por ejemplo:

Calcular los eingevectores de la matriz A:

Paso 1

Primero obtenemos los eingevalores:


Paso 2

La determinante nos da:


Paso 3

De aquí obtenemos dos eingevalores:


Paso 4

Para obtener los eigenvectores:


Paso 5

Tenemos que para:




En el primer renglón a1 + a2 = 0 implica que a2 = -a1; en tanto que del segundo renglón tenemos que a1 + 2a1= -a1= 0; por lo que a1 = a2 = 0. De este proceso se desprende que para λ=0 tenemos el vector (0,0) o solución trivial:



Cuadro


Por lo tanto, para λ=2 la única solución que se tiene es la trivial, el eigenvector (0,0).

De este apartado, es importante mencionar que los conceptos de valores y vectores característicos tienen la propiedad de que dado un valor característico (eigenvalor), y un vector característico x asociados a una matriz A, se cumple que:



Cuadro



Es necesario decir que en la práctica las matrices relacionadas a los problemas reales son de dimensiones grandes, y bajo esta óptica la obtención de los valores y vectores característicos se debe llevar a cabo a través de la aplicación de métodos numéricos.

Una vez obtenidos los eigenvalores y los eigenvectores correspondientes, éstos pueden ser un eficaz apoyo para la aceleración de la mecánica algorítmica en la solución de un problema dado.

Actividad. Mi primer enfrentamiento con el eigenvalor y el eigenvector

Ahora ya conoces el proceso para obtener los eigenvalores y eigenvectores; te invito a que pongas a prueba tus conocimientos y te conviertas en un experto en este tema. ¡A encontrarlos!

Autoevaluación. Mi verdadero eigenvalor

Ahora que has practicado y tenido la posibilidad de encontrar los eigenvalores de distintas matrices, te sugerimos que afirmes tus conocimientos nuevamente.

Fuentes de información

Bibliografía

Kolman, B. y Hill, D. (2006). Algebra lineal (8.ª ed.). México: Pearson.

Lay, D. (2004). Algebra lineal y sus aplicaciones (3.ª ed.). México: Pearson.

Poole, D. (2004). Algebra lineal: una introducción moderna. México: Thomson.



Documentos electrónicos

De la Rosa, A., Luna, J., Rivera, S., Rodríguez, A. y Sánchez, G. (2010). Eigenvalores, eigenvectores. Matemáticas I. Licenciatura en Informática [CD-ROM]. México: Universidad Nacional Autónoma de México.

Cómo citar

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