Estimación de la media poblacional con muestras pequeñas

En la práctica es común enfrentar situaciones donde el tamaño de la muestra es menor a 30 elementos, entonces ¿cómo realizar estimaciones para este caso?

Sabemos que la distribución de la media muestral tiende a ser normal conforme aumenta el tamaño de muestra; para muestras pequeñas, donde además se desconoce la varianza poblacional, la distribución del estimador muestral se asemeja:

Puede modelarse con una distribución t de Student, con n - 1 grados de libertad. La distribución t se aproxima a una normal estándar en la medida que aumenta el tamaño de la muestra.

En la siguiente tabla se presentan los elementos para realizar una estimación de la media poblacional con muestras pequeñas.

En la tabla anterior, columna cinco, se muestra el estimador puntual de la media poblacional, que es el promedio muestral. En la columna cuatro, se presenta cómo calcular el intervalo de confianza, el cual está expresado en el cuantil t de una distribución t de Student con n - 1 grados de libertad, que parte la curva en dos áreas, una con valor 1− α/2 y la otra de α/2, siendo α un valor entre 0 y 1.

Para calcular el valor de t, se puede recurrir a tablas o algún paquete de hoja de cálculo como MS Excel, en donde se emplea la siguiente función y argumentos:

=DISTR.T.INV(probabilidad, grados de libertad)

Nota: En esta función, el parámetro probabilidad se refiere a α/𝟐, y el resultado es el cuantil t, que separa la curva en dos regiones, una con área 1 - α/𝟐 y la otra de α/𝟐, siendo α un valor entre 0 y 1.

A continuación se ilustra el valor que calcula la fórmula.

En la figura anterior, el valor encerrado en el círculo rojo es el resultado de la fórmula.

Veamos el siguiente ejemplo. Supóngase que se desea realizar una estimación con un nivel de confianza de 90 % con una muestra de 10 elementos, entonces:

Con el propósito de mostrar los pasos a seguir para calcular las estimaciones de una media muestral pequeña, se presentan los siguientes casos prácticos:

Caso 1

Se desea estimar el número de horas promedio de capacitación de 350 empleados de una empresa fabricante de refrescos. Ante la dificultad de recabar información, se eligió una muestra de 10 empleados del área operativa y se registraron las horas de capacitación recibidas durante el mes de julio. La siguiente tabla muestra la información recabada:

Con la información de esta muestra, procede lo siguiente:

a. Realizar una estimación puntual del promedio de horas de capacitación de los empleados recibidas en el mes de julio.
b. Realizar una estimación por intervalo para el promedio de capacitación de los empleados recibida en el mes de julio con un nivel de confianza del 95 %.
c. Interpretar los resultados.

Para solucionar este ejercicio, se sugiere realizar lo siguiente:

Con base en la estimación puntual, el promedio de horas de capacitación fue de 30.3 horas en el mes de julio.

De acuerdo con la estimación por intervalo, el promedio de horas de capacitación recibidas en el mes de julio por los empleados del área operativa de la empresa de refrescos está entre 24.25 y 36.34 horas, con un nivel de confianza del 95 %, es decir:

Caso 2

Con la intención de producir propaganda destinada a jóvenes de 18 años, en cierto estado del país con 500 poblados, se extrajo una muestra de 16 localidades, donde se realizó un censo de jóvenes residentes de 18 años. La siguiente tabla muestra la población de 18 años en 16 localidades:

Con la información de esta muestra, procede lo siguiente:

a. Realizar una estimación puntual del promedio de jóvenes de 18 años.
b. Realizar una estimación por intervalo para el promedio de jóvenes de 18 años con un nivel de confianza del 99 %.
c. Interpretar los resultados.

Para solucionar este ejercicio, se sugiere realizar lo siguiente:

Con base en la estimación puntual, el promedio de jóvenes de 18 años por localidad es de 292, 486. De acuerdo con la estimación por intervalo, el promedio de jóvenes de 18 años por localidad se encuentra entre 263, 514 y 321, 459 con un nivel de confianza del 99 %, es decir:

Por último, recuerda que en cualquier estimación que se calcule siempre se debe obtener el intervalo de confianza con sus límites inferiores y superiores, así como ubicar el promedio dentro de los límites.